Извод на формулата за период на математично махало

Формалния извод на формулата за период на колебанията на математично махало може да бъде извършен със средствата на висшата математика. Ще покажем, че е възможно този резултат да бъде получен и с достъпни средства, обобщавайки познатите ни вече зависимости за трептенията на пружинно махало.

Да разгледаме пружинно махало изградено от пружина с коефициент на еластичност , към която е прикрепено тяло с маса . Свободните колебания на махалото се извършват под действието на еластична сила, големината на която е пропорционална на отклонението от равновесно положение и е насочена в обратна посока на това отклонение:

(1)

,

големина на еластичната сила

Знаем, че периодът на хармоничните трептения на пружинно махало е:

(2)

,

период на пружинно махало

Единственото условие, водещо до този резултат е големината на връщащата сила да е пропорционална и обратна по знак на отместването от равновесното положение (1). Можем да направим извода, че ако вместо пружина имаме такава конфигурация, че връщащата сила действаща на тялото да е хармонична с коефициент на пропорционалност , то в резултат тялото ще извършва хармонични трептения с честота, определена от равенство (2).

Сигурно се питате какво защо говорим за пружинно махало, след като нашата задача е да определим периода на математично махало. Ще покажем, че връщащата сила, действаща върху топчето на математично махало, при малки колебания, е еластична.

(3)

,

връщаща сила на математично махало

При малки колебания можем да приемем за единица. Тогава, имайки предвид връзката между отклонението на топчето и дължината на нишката :

(4)

,

връщаща сила на математично махало

Както се вижда, връщащата сила е пропорционална на отклонението на топчето от равновесно положение. Коефициентът на пропорционалност в този случай е:

(4)

,

"коефициент на еластичност" на математично махало

Замествайки в (1) така получената стойност за коефициента на еластичност, получаваме израза за период на малките колебания на математично махало:

(4)

,

период на математично махало

Получената зависимост е познатата ни формула за периода на трептене на математично махало. Получихме тази зависимост като направихме същественото допускане за малки трептения. Кои трептения са малки? При трептения с отклонение от равновесното положение по-малко от 5°÷8°, изведената формула добре описва периода на трептене.

Описаният тук метод за определяне периода на хармонични трептения на тяло под действието на еластична сила има изключително широко приложения в цял клас от задачи, при които връщащата сила е еластична, т.е. тя е пропорционална на отместването от равновесно положение. Периодът на хармоничното трептене може да бъде определен без да се прибягва до решаване на диференциални уравнения.