Извод на формулата за период на физично махало

Фиг. 1. Физично махало

Махало, при което не можем да разглеждаме тялото като материална точка, окачена за безтегловна нишка, се нарича физично махало, т.е. махало с разпределена маса. Изхождайки от общи съображения, не е трудно да определим периода на хармоничните трептения на физичното махало. На фиг. 1 е изобразено едно такова махало, състоящо се от тяло с маса , окачено в точка A, намираща се на разстояние от неговия център на масите O. С сме означили завъртането на тялото около точка A вследствие отклоняването му от равновесно положение.

Съгласно основния закон на динамиката за въртеливо движение, сумата от моментите на всички действащи на тялото сили спрямо точка A е равна на произведението от ъгловото ускорение и инерчния момент на тялото спрямо същата тази точка A:

(1)	,
където:
	е големината на силата, е броят на действащите върху тялото сили, е съответното на силата рамо, е ъгловото ускорение на тялото спрямо точка A, е инерчния момент на тялото спрямо точката A.

Действащите върху тялото сили са две — силата на тежестта и реакцията в точката на окачване . Тъй като рамото на реакцията е нула, то единственият ненулев момент ще бъде този на силата на тежестта . Тогава основния закон (1) добива вида:

(2)

.

За малки ълги, ненадвишаващи 8° можем да използваме приближението , откъдето:

(3)

.

уравнение на движение на твърдо тяло за малки ъгли

От полученото равенство виждаме, че ъгловото ускорение на тялото е пропорционално на ъгловото отклонение от равновесно положение, т.е. тялото ще извършва хармонично трептене, като ъгълът на завъртане на тялото играе ролята на отклонение от равновесното положение.

Знаем, че периодът на трептене на тяло с маса под действие на хармонична сила е:

(4)

,

период на хармонично трептене

където е коефициентът на пропорционалност на ускорението

Според (3) в случая на физично махало, коефициентът на пропорционалност пред ъгловото отклонение е , откъдето периодът на махалото ще бъде:

(5)

.

период на малките трептения на физично махало

В частния случай на материална точка окачена на нишка, инерчният момент е , откъдето се получава че махалото ще трепти като математично с период:

(6)

.

период на малките трептения на математично махало

Фиг. 2. Физично махало — пръчка.

Друг важен частен случай е, когато пръчка с дължина е окачена в единия си край (фиг. 2). Знаем, че инерчният момент на пръчката спрямо нейния край е , а разстоянието от точката на окачване A до центъра на масите O е . Като използваме (5) определяме периода на колебанията на пръчката:

(7)

.

Изразът за периода на физично махало (5) позволява експериментално определяне на инерчния момент на произволно тяло чрез измерване на периода на неговите малки колебания. От друга страна, ако използваме тяло с известен инерчен момент, например пръчка, можем да определим големината на земното ускорение.