Извод на формулата за период на пружинно махало

Фиг. 1. Представяне на пружината
като съставена от множество части.

Фиг. 2. Разпределение на скоростта по
дължината на пружината.

Ще разделим мислено пружината на много голям брой еднакви части. Можем да ги номерираме , започвайки от окачения край. Ако разглежданата пружина има маса , а дължината й в някой момент е , то дължината и масата на всяка една такава част ще бъдат съответно:

(1)

Ще приемем, че скоростите на отделните части на пружината са разпределени линейно в интервала от 0 в окачения горен край до в свободния край (фиг.1). Тогава произволна част от пружината с пореден номер , намираща се на разстояние от окачения край, ще има скорост:

(2)

За кинетичната енергия на пружината можем да запишем:

(3)

Можем да заместим скоростта на една такава част, използвайки равенство (2):

(4)

Масата на една част можем да заместим от равенство (1):

(5)

Ще продължим да преобразуваме този израз като се възползваме от известната от математиката формула за сума от квадратите на първите естествени числа:

(6)

Тъй като броят на частите е много голям, примерно 1000 или 10000, то събираемите съдържащи в знаменател ще бъдат много по-малки от единица и можем да ги пренебрегнем като ги приемем за нула. Тогава получаваме окончателния израз за кинетичната енергия на пружината:

(7)

Да се върнем сега на пружинното махало. Нека в свободния край на пружината е окачено тяло с маса . Неговата скорост ще бъде равна на скоростта на долния край на пружината и следователно общата кинетична енергия на системата ще бъде:

(8)

От друга страна,ако коефициентът на еластичност на пружината е , то потенциалната енергия на пружината ще бъде:

(9)

Зависимостите за кинетичната (8) и потенциалната (9) енергии на системата ни дават основание да разглеждаме системата като тяло с ефективна маса , окачено на безтегловна пружина. Ако приложим известната формула за период на пружинно махало с безтегловна пружина, периодът на колебания на нашата система ще бъде:

(10)

.

В единия граничен случай, когато масата на пружината е много малка, получената зависимост преминава във формулата за период на пружинно махало с безтегловна пружина. От друга страна, ако няма окачено тяло в края на пружината, т.е. , то пружината ще се колебае, като че ли в края е окачено тяло с маса равна на една трета от масата на пружината.